Taki-takining Sewaka Guna Widya

Persamaan Kuadrat

               Persamaan Kuadrat

a. Pengertian bentuk umum persamaan kuadrat

                 Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang variabelnya paling tinggi berderajad dua.

Bentuk Umum:

a x2 + b x + c = 0 ; a , b , c Î ; a 0

                                                    a = koefisien x2 ;b = koefisien x  dan   c = konstan

Contoh:

1.  5 x2 + 7 x + 8 = 0 ; a = 5 ; b = 7 , dan c = 8

2.  x2 + 6 x – 4 = 0 ; a = ; b = 6 , dan c = – 4

b. Bentuk-bentuk Persamaan Kuadrat

Selain bentuk umum seperti di atas masih ada bentuk-bentuk lain, yaitu:

1)  Jika a = 1 Þ a x2 + b x + c = 0 Þ disebut Persamaan kuadrat biasa.

2)  Jika b = 0 Þ a x2 + c = 0 Þ disebut Persamaan kuadrat sempurna (murni).

3)  Jika c = 0 Þ a x2 + b x = 0 Þ disebut Persamaan kuadrat tak lengkap.

4)  Jika a , b , dan c bilangan real Þ a x2 + b x + c = 0 disebut Persamaan kuadrat Real.

5)  Jika a , b , dan c bilangan rasional Þ a x2 + b x + c = 0 disebut Persamaan kuadrat Rasional.

Kadang ada persamaan kuadrat yang tidak termasuk ke dalam bentuk baku seperti di atas sehingga harus diubah dahulu ke dalam bentuk baku persamaan kuadrat, dengan memakai sifat-sifat persamaan sebagai berikut:

1) Kedua ruas suatu persamaan boleh ditambahkan atau dikurangi dengan suatu bilangan atau variabel yang sama. Persamaan baru yang didapat, ekuivalen dengan persamaan semula.

2) Kedua ruas suatu persamaan boleh dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan atau variabel yang sama kecuali 0 . Persamaan baru yang didapat, ekuivalen dengan persamaan semula.

Contoh:

Nyatakan persamaan kuadrat berikut ke dalam bentuk baku persamaan kuadrat, kemudian tentukan nilai a , b , dan c.

3 x2 = 4 x + 7

4 x2 = 5 ( x2 – 2 x + 6 )

d. Himpunan Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menentukan nilai pengganti x yang memenuhi persamaan itu. Nilai pengganti akan mengubah kalimat terbuka menjadi sebuah pernyataan yang bernilai benar. Nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat itu dinamakan akar dari persamaan kuadrat.

Untuk cara-cara penyelesaiannya di sini akan dibahas dengan menggunakan cara:

1) Pemfaktoran

Langkah-langkah penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran:

1. koefisien dari x2 diusahakan sama dengan 1.

2. gunakan sifat ( x – x1 ) ( x – x2 ) = x2 – ( x1 + x2 ) x + x1 x2

3. penyelesaian persamaan kuadrat adalah x1 dan x2

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari:

2 x2 – 3 x – 9 = 0

( Bila dijumlah ada – 3 dan bila dikalikan ada – 18 , pasangan bilangan manakah itu? )

         2 x2 – 3 x – 9 = 0

<=> 2 x2 – 6 x + 3 x – 9 = 0

<=> 2 x ( x – 3) + 3 (x – 3) = 0

<=> (2 x + 3) (x – 3) = 0

<=> (2 x + 3) = 0   2 x = -3    x =-2/3

          <=> (x – 3) = 0      x = 3

Jadi himpunan penyelesaian : {-2/3 , 3 }

2) Melengkapkan Kuadrat Sempurna.

Cara melengkapkan kuadrat sempurna dimaksudkan menambahkan suatu bilangan pada ruas kiri agar diperoleh bentuk kuadrat sempurna.

Hal-hal yang perlu diperhatikan:

1. koefisien dari x2 diusahakan sama dengan 1.

2. tambahkan kedua ruas dengan konstanta agar diperoleh bentuk (x +p)2

Contoh:  x2 + 3 x – 10 = 0

Jadi HP : { -5 , 2 }

3) Rumus abc

Cara penyelesaian yang umum adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc yang didapat dari proses melengkapkan kuadrat sempurna dari persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0 , yaitu:

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 x2 + 5 x – 3 = 0

Jawab:

2 x2 + 5 x – 3 = 0

a = 2 , b = 5 dan c = -3

=

x1 = dan x2 = Jadi Hp : {-3, }

4) Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat

yaitu banyak akar dan jenis akar persamaan kuadrat, perhatikan bentuk :

, banyak dan jenis akar persamaan kuadrat dapat diselidiki dari nilai D = b2 – 4 a c ( D = diskriminan):

1. Jika D > 0, maka kedua akarnya real yang berbeda.

contoh: x2 + 5 x + 4 = 0

2. Jika D = 0, maka kedua akarnya real yang sama (kembar)

contoh: x2 + 4 x + 4 = 0

3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akarnya real.

contoh: x2 + 3 x + 3 = 0

5) Jumlah dan hasil kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Dari dan

x1 + x2 = dan x1 . x2 =

Dapat dicari (x1 + x2 ) dan (x1 . x2 ) sehingga diperoleh bahwa:

Contoh:

Tentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat dari : x2 – 5 x + 6 = 0

Jawab:

x1 + x2 = = = 5 dan x1 . x2 = = 6

6) Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Untuk menyusun persamaan kuadrat baru dapat dilakukan dengan 2 cara :

1. dengan perkalian Faktor.

2. menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan.

ad. 1 Menggunakan bentuk perkalian faktor

Cara ini dipakai bila akarnya x1 dan x2 diketahui:

Bentuk persamaan kuadrat: (x – x1 ) ( x – x2 ) = 0

Selanjutnya diselesaikan dengan mengalikan faktor-faktornya.

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 = 7 dan x2 = 8

Jawab:

(x – x1 ) ( x – x2 ) = 0 Þ (x – 7 ) ( x –8 ) = 0 Þ x2 – 8 x – 7 x + 56 = 0

Þ x2 – 15 x + 56 = 0

Jadi persamaan kuadratnya : x2 – 15 x + 56 = 0

ad. 2. Menggunakan sifat penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat.

Akar-akar yang diketahui di substitusikan ke x2 – ( x1 + x2 ) x + x1 . x2 = 0

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 = -2 dan x2 = 3

Jawab: x2 – ( x1 + x2 ) x + x1 . x2 = 0

x2 – ( – 2 + 3 ) x + ( -2 . 3) = 0 Þ x2 – x – 6 = 0

Jadi persamaan kuadratnya adalah : x2 – x – 6 = 0

LATIHAN:

1. Selesaikan dengan faktorisasi

a. x2 – 3 x – 4 = 0                       b. x2 – 6 x + 9 = 0

c. 3 x – x2 = 0                               d. x2 – 16 = 0

2. Tentukan himpunan penyelesaian dengan cara melengkapi kuadrat sempurna.

a. x2 – 5 x – 6 = 0                       b. x2 + x = 20

c. 5 x – x2 = 0                              d. x2 + 5 x + 4 = 0

3. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan rumus:

a. x2 + 7 x + 3 = 0                      b. 3 x2 – 2 x – 8 = 0

c. x2 + 7 x = – 11 d. x – 2 =

4. Tentukan jenis akar persamaan berikut

a. x2 + 7 x – 6 = 0                        b. 2 x2 – 5 x = 0

c. 2 x2 – 3 x = – 5                          d. 6 x – 2 x2 = 7

5. Tentukan k sehingga persamaan di bawah ini mempunyai dua akar nyata dan sama.

a. x2 – 2 x + 3 k = 0                             b. x2 – 2 k x = – 16

c. x2 – (k + 3) x + (2 k + 3) = 0          d. (2k – 1) x2 + (k + 1) x + 1 = 0

6. Persamaan n x2 – (2 n – 3) x + n + 6 = 0 mempunyai akar kembar. Carilah n , kemudian cari pula akar kembar tersebut.

7. Jika x1 , x2 akar-akar dari x2 – 3 x + 5 = 0 tentukan nilai-nilai dari:

a.   x1 + x2 b. x1 . x2

c.    x12 + x2 2 d. x13 + x2 3

8. Jika x1 , x2 akar dari 2 x2 – 4 x + 10 = 0 , tentukan nilai dari:

a. b.

9.  Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya:

a. 2 dan ( – 1 )                        b.   ( -2) dan (-3)

c. ( -1 ) dan 3                          d.  ( – 2 ) dan 4

10. Persamaan kuadrat x2 – 3 x – 7 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2 . Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:

a.  x1 + 1 dan x2 + 1

11. Tentukan k agar k x2 + 2 x + k = 0 mempunyai akar real dan berbeda.

Comments on: "Persamaan Kuadrat" (1)

  1. Hi, this is a comment.
    To delete a comment, just log in, and view the posts’ comments, there you will have the option to edit or delete them.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: